Fette Dynamics GmbH

Das digitale nichtlineare Stromnetz

Habilitationsschrift

2001

484 Seiten

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Dynamik nichtlinearer Elektroenergiesysteme
Eine Beurteilung der Dynamik und Stabilität nichtlinearer Elektroenergiesysteme erscheint aufgrund der Komplexität dieser Systeme nahezu unmöglich zu sein. Solange sich diese Systeme wie lineare Systeme verhalten, können bekannte Methoden mit bekannten Lösungstheorien verwendet werden, um Aussagen zu treffen. Ganz anders gestaltet sich das Problem, wenn Nichtlinearitäten einen dominierenden Einfluss erlangen.

Man ist dann gut beraten, auch in anderen Disziplinen der Wissenschaft Analogien in einer multidisziplinären Art und Weise zu suchen, und die dort gewonnen Erkenntnisse zum eigentlichen Lösungsprozeß mit zu Rate zu ziehen. Die Modellierung der Prozesse in den unterschiedlichen Disziplinen führt ohnehin auf ähnliche mathematische Probleme. Haken hat das vor einiger Zeit erkannt und diesen "multidisziplinären Arbeitsrahmen" Synergetik genannt. Ein wesentlicher Bestandteil dieser Theorie und Betrachtungsweise beurteilt das prinzipielle dynamische Verhalten von Systemen und wie die Eigenschaften dieser Systeme gestört werden können. Interessant ist dabei zu beobachten, wie einmal erkannte und damit auch modellierte Eigenschaften verändert werden, so sogar die Strukturen der Modell ganz anders aussehen können.

Insbesondere ist bei Elektroenergiesystemen die Repräsentanz der Modelle und das Wissen um die Dynamik einzelner Systembausteine vollkommen unterschiedlich. Während man z.B. die einzelnen Generatoren genau kennt, ist das Wissen um Lasten, oder Lastverhältnissen von einer anderen Qualität. Während zur Beschreibung von Generatoren determiniertes Wissen um die Dynamik oder das Verhalten dieses Gerätes existiert, ist bei Lasten nur eine Beschreibung mit makroskopischen zudem stochastischen Parametern nurmehr möglich.

Um das makroskopische Verhalten der Systeme zu beschreiben ist der Begriff der Ordnungsparameter wesentlich. Das Systemverhalten wird dabei nur durch eine geringe Anzahl von Parametern dominiert. Eine ähnliche Voraussetzung wurde auch bei der Anwendung der Katastrophentheorie gemacht. Allerdings sind die Voraussetzungen dieser Theorie sehr eng, und sie läßt die wichtige Rolle der Schwankungen außer acht. In der Synergetik ist die Frage nach Längen- oder Zeitskalen wichtig. Diese Begriffe wurden schon von jeher zur Beschreibung von Elektroenergiesystemen mit den Begriffen "stationär", "transient" und "subtransient" verwendet. Die Ordnungsparameter sind dem gewöhnlich besser bekannten Begriff aus der Theorie dynamischer Systeme, den Attraktoren, ähnlich, sie sind zusammenhängende Begriffe. Wenn allgemein komplexe Systeme betrachtet werden, dann werden diese durch sehr viele verschiedene Größen, Variablen oder Parameter beschrieben. In der Synergetik zeigt man, daß das Verhalten eines solchen komplexen Systems dann doch wieder auf das Verhalten von wenigen Größen zurückgeführt werden kann, die als Ordnungsparameter bezeichnet werden. Ein System lässt sich also durch wenige Variablen oder wenige Freiheitsgrade beschreiben. Das ist die eine Beschreibungsweise. Andererseits muss auch gesagt werden, dass ein ungeordnetes System durch einen abstrakten Raum mit hohen Dimensionen beschrieben werden muss, um all die einzelnen Freiheitsgrade wiederzugeben. Wenn aber ein System in einen geordneten Zustand übergeht, dann wird die hohe Dimension auf eine sehr kleine Dimension von Freiheitsgraden reduziert. Das lässt sich dann durch die niederdimensionalen Attraktoren beschreiben. Es sind also zwei miteinander eng verbundene Beschreibungen, die aber nicht identisch sind. Diese Eigenschaft ermöglichte in der Vergangenheit die bekannten Analysen von Elektroenergiesystemen und den Einsatz von Automatisierungssystemen zum Erhalt dieser Eigenschaften.

Wie bereits bemerkt, ist in der Synergetik die Frage nach Längen- oder Zeitskalen wichtig. Die Ordnungsparameter ändern sich auf viel langsameren Zeitskalen als die Teilsysteme, deren Verhalten von Ordnungsparametern bestimmt werden. Realistischerweise muss man von einer komplizierten Hierarchie von ineinander verschachtelten Systemen ausgehen. Die eine Ordnung ist dabei durch die Zeitkonstanten gegeben, die andere durch die Wechselwirkungsenergien oder durch Funktionen. So existieren verschiedene Kriterien, um Systeme von ihrer Umgebung abzugrenzen. Aber man muss sich darüber im klaren sein, dass die Umgebung sehr stark in das einzelne Teil hineinwirkt und dass umgekehrt das einzelne Teil auch auf die Umgebung zurückwirkt. Die Synergetik zeigt ganz deutlich, wie es bei komplexen Systemen immer wieder zur Emergenz von neuen Eigenschaften kommt, die man auf andere Weise gar nicht erfassen kann.

Es besteht also ein Bedarf an Wissen, herauszufinden, welches die systemdominierenden Zustandsvariablen sind, und wie die prinzipielle Systemdynamik aussieht. Aufgrund der modellierten physikalischen Phänomene wie magnetische Sättigungscharakteristiken oder Hystereseeffekte sind spezielle strukturelle Eigenschaften repräsentiert. Damit existiert aber allgemein eine möglicherweise sehr komplizierte Dynamik. Insbesondere sind sogar chaotische Zustände vorstellbar.

Der Übergang von regulären Zuständen hin zu chaotischen Zuständen ist aber dadurch gekennzeichnet, daß charakteristische Größen zur Beschreibung stochastischer Einflüsse wie Autokorrelationsfunktionen, Leistungsdichtespektren usw. keinerlei Bedeutung mehr haben. Der Prozess verliert seine eigene Selbstähnlichkeit. Damit ist aber auch die Grenze der "Vererbung" dynamischen Verhaltens ganz deutlich geworden. Die Eigenschaft, dass bestimmte, in der Regel nur sehr wenige Zustandsvariablen das Prozessgeschehen dominieren ist dann verloren gegangen. Es ist dann auch sehr schwer zu beurteilen, ob z.B. vorliegende Messwerte tatsächlich chaotische Bewegungen charakterisieren oder vielleicht "nur" komplizierte transiente Vorgänge sind, oder ob der Prozess stochastischer Natur ist. Klassische Analyseverfahren versagen dann. Dabei spielt jetzt das Wissen um die Strukturdynamik eine wesentliche Rolle, um mögliche Dynamiken im Vorfeld zu beurteilen und aus dem Wissen um physikalische Effekte aus den strukturellen Eigenschaften den möglichen Übergang ins Chaos für den Prozeß vorzuzeichnen. Genau hier setzt die Beschreibung der Elektroenergiesysteme mit charakteristischen nichtlinearen Oszillatoren ein, um die typischen Nichtlinearitäten und ihre Auswirkungen am Modell zu studieren.

Inhalte und Struktur der Habilitationsschrift
  •  Inhaltsverzeichnis
  •  Begriffe
  •  Einleitung
         Methoden und Vorgehensweisen zur numerischen Analyse dynamischer Systeme
                 Phasen-Portraits
                 Bifurkationen
                 Zeitreihenanalyse
           Fazit
  •  Modellierung elektrischer Netze
         Topologie des Gesamtsystems
         Interne Modellstruktur
         Beschreibung mittels schwingfähiger Systeme
         Approximation periodischer Lösungen mittels algebraischer Gleichungssysteme
         Algebraische Darstellung des Netzes: Lastflußproblematik
         Fazit
  •  Lösbarkeit und Eigenschaften algebraischer Netzbeschreibungen
         Anzahl der Lösungen von Lastflußgleichungen
                 Ein "defizientes" System und das assoziierte homogene System
                 Nichtsinguläre Nullstellen in Projektionsräumen
                 Anwendung auf Energieversorgungssysteme
                         Allgemeine Lastflußgleichungen
                         Lastflußgleichungen der PQ-Knoten
                         Lastflußgleichungen der PV-Knoten
                 Spezielle Strukturen von Energieversorgungssystemen
         Fraktale Natur des Newton-Raphson-Verfahrens
         Fraktale in Elektroenergiesystemen
         Fazit
  •  Homotopie- und Fortsetzungsmethoden
         Einführung
         Bestandteile der sogenannten Prädiktor-Korrektor-Methode
         Homotopie
         Prädiktor
                 Methode der gewöhnlichen Differentialgleichung: Tangentialprädiktor
                 Polynomiale Extrapolation: Sekanter Prädiktor
         Parametrisierungen
                 Parametrisierung durch eine zusätzliche Gleichung
                 Bogenlänge und Pseudo-Bogenlänge
                 Lokale Parametrisierung
         Korrektor
         Schrittweitenregelungen
         Bestimmung spezieller Punkte im Diagramm
         Fazit
  •  Zur Berechnung aller Lösungen von Lastflußgleichungen
         Parametrisierung der Lastflußgleichungen
         Topologische Strukturen der Lösungsmannigfaltigkeiten
         Der Berechnungs-Algorithmus
         Simulationsbeispiele
                 Modell 1
                 Modell 2
                 Modell 3
                 5-Knoten System
         Fazit
  •  Modellierung elektrischer Netze (klassisch)
         Mehrmaschinensystem
                 Transformation des Maschinensystems auf das gemeinsame
                 synchrone Bezugskoordinatensystem
                 Klassisches Modell des Mehrmaschinensystems
                             Darstellung des Modells im Zustandsraum
                             Vernachlässigung der Übertragungskonduktanz
                             Zustandsraummodell mit Übertragungskonduktanz
         Schätzung der transienten Stabilität durch Lyapunov-Funktionen
                 Formulierung des Zustandsraummodells mit Winkelschwerpunkt
                 Einmaschinensystem
                 Mehrmaschinensystem
         Fazit
  •  Strukturierte Modellierung und Analyse gesättigter Synchronmaschinen
         Maschinenmodell mit Sättigung und Quermagnetisierung
                 Basismodell
                 Modellierung der Sättigung
                 Ruhelagen des Modells ohne Sättigung des magnetischen Kreises
                 Vernachlässigung des Statorwiderstandes
                 Turbogenerator
                 Ruhelagen des erweiterten Modells mit Sättigung
                 Fazit
         Modell eines Synchrongenerators mit unsymmetrischem Fehler
         Analyse des Synchrongeneratormodells
                 Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität der Ruhelagen
                 Ruhelagen des fehlerfreien Synchrongenerators ohne Sättigungseffekte
                 Vernachlässigung des ohmschen Statorwiderstandes
                 Turbogenerator
                 Ruhelagen des erweiterten Modells mit Sättigung
                 Der Synchrongenerator mit Ständererdschluß (Unsymmetrie)
                             Dissipatives System
                             Die Bedeutung des Fehlerwiderstandes
                             Hopf-Bifurkation
                             Berechnung der Ruhelagen
         Modellvalidierung, Simulationen und Ergebnisanalyse
                 Vorgehensweise
                             Überlegungen zur Modellvalidierung
                             Überlegungen zu Simulationsexperimenten
                             Überlegungen zur Ergebnisanalyse
                             Synchrongeneratormodell mit Ständererdschluß
                 Simulationen und Analysen
                 Analyse im Frequenzbereich
                 Beurteilung der Ergebnisse
         Fazit
  •  Lösbarkeit nichtlinearer differential-algebraischer Modelle elektrischer
         Energieversorgungssysteme
         Indexproblem des differential-algebraischen Mehrmaschinensystems
                 Mathematische Vorbetrachtungen
                 Theoretische Grundlagen der Algebrodifferentialgleichungen
         Index eines differential-algebraischen Systems
                 Semi-explizite Formen der Systemklassen vom Index 1, 2, und 3
                             Systeme vom Index 1
                             Systeme vom Index 2
                             Systeme vom Index 3
                 Weitere Index-Konzepte
                             Poincaré-Index eines Fixpunktes oder einer geschlossenen Kurve
                             Reihenentwicklungen um schwach singuläre Stellen
         Das differential-algebraische Mehrmaschinensystem
                 Das Einmaschinenmodell
                 Die algebraischen Nebenbedingungen
                 Das differential-algebraische Modell eines Zweimaschinensystems
         Was ist zu tun?
  •  Ersatzbeschreibung durch nichtlineare Differentialgleichungen
         Vererbung dynamischer Eigenschaften
         Bemerkungen zur Katastrophentheorie
                 Einführende Bemerkungen
                 Katastrophentheorie
                 Strukturelle Stabilität
                 Das Spaltungslemma
                 Kodimension
                 Die sieben Elementarkatastrophen
                 Geometrie der interessierenden Elementarkatastrophen
                             Die Falte
                             Die Kuspe (Riemann-Hugoniot-Katastrophe)
                 Nichtlineare Oszillatoren
                 Die beschränkte Anwendbarkeit der bestehenden Resonanzbegriffe
                             Resonanz und invariante Tori
                             Lineare Resonanz
                             Nichtlineare Resonanzen
                 Torsionszahlen strikt dissipativer, symmetrischer Oszillatoren
                             Duffing-Gleichungen
         Synchronmaschine als nichtlinearer Oszillator
                 Modellierungsbeispiel einer Synchronmaschine über eine Leitung an das Netz
                 Mehrmaschinenmodell
                 Spezialfall: Zweimaschinenmodell
         Chaotische Dynamik am Beispiel eines Zweimaschinenmodells
         Diffuse Eigenschaften elektrischer Energieversorgungssysteme
         Fazit
  •  Zur Dynamik nichtlinearer angetriebener Oszillatoren
         Einfache periodische Schwingungen
                 Harmonische Balance
         Stabilität - Linearisierte Gleichung
                 Floquétexponenten, Floquétmultiplikatoren
                 Bifurkationen mit  m=-+1
         Deterministisches Chaos
                 Intermittenz
                 Typ 1 Intermittenz
                 Typ 3 Intermittenz
                 Periodenverdoppelnde Kaskade
                 Periodenverdopplung in höherdimensionalen Systemen
                 Homokline Bifurkationen
         Globale Parameterabhängigkeit stationärer Lösungen
                 Periodenverdoppelnde Bifurkationen in der Duffing-Gleichung
         Fazit
  •  Nachweis periodischer Lösungen der Duffing-Gleichung
         Einführung
                 Formulierung des allgemeinen Existenzsatzes
                 Anwendung des Satzes auf die Duffing-Gleichung
         Fazit
  •  Repräsentanz der Maschinenmodelle durch Duffing-Gleichungen
         Synchronmaschine als Duffing-Oszillator
                 Synchronmaschine (Leistungsgleichung)
                 Synchronmaschine am starren Netz
         Theoretische Grundlagen zur Duffing-Gleichung
                 Schreibweise für Mehrmaschinenmodelle
                 Fixpunkte
                 Eigenwerte des linearisierten Systems
                 Kuspe und Transformation
                 Holmes-Melnikov-Grenze
         Synchronmaschine mit Sättigung des magnetischen Kreises
                 Herleitung des Modells
                 Zuweisung der sättigungsabhängigen Parameter
         Zusammenschaltung von Synchronmaschinen
         Synchronmaschine am starren Netz
                 Trajektorienverläufe
                 Kuspen einer Synchronmaschine
                 Numerische Berechnung der Lyapunov-Exponenten
                 Sättigungseigenschaften
         Zwei gekoppelte Synchronmaschinen
                 Resonanzfrequenz und Kuspe
                 Sättigung
         Fazit
  •  Modellbeschreibung durch Hamiltonsche Systeme
         Grundlagen der Hamiltonschen Systeme
                 Hamilton-Funktion und Hamiltonsches Differentialgleichungssystem
                 Hamiltonsches System in Wirkungs- und Winkelvariablen
         Gestörte Hamiltonsche Systeme
         Melnikov-Methode
                 Einleitende Bemerkungen
                 Anwendung auf die Duffing-Gleichung
         Fazit
  •  Hamilton-Beschreibung zur Analyse des Turbinen-Generator-Welle-Systems
         Einführung
         Das Modell des Turbinen-Generator-Welle-Systems
         Hamilton-Funktion des nichterregten Turbinen-Generator-Welle-Systems
         Lineare Analyse
                 Stabilitätsuntersuchungen
                             Eigenwertanalyse
                             Die direkte Methode mit Hilfe der Hamilton-Funktion
                 Berechnung des Amplituden und Phasenganges
                 Resonanzen in schwingungsfähigen Systemen
         Nichtlineare Analyse
                Konservative Systeme
                Mannigfaltigkeiten und Trajektorien Hamiltonscher Systeme
                             Grundzüge der Störungstheorie - Das KAM-Theorem
                             Irreguläres und chaotisches Verhalten
                             Die Melnikov-Methode
                 Dissipative Systeme
                             Attraktoren
                 Charakterisierung von Attraktoren
                             Simulation der Zeitverläufe und Phasenportraits
                             Poincaré-Abbildungen
                             Autokorrelation und Leistungsspektrum
                 Nichtlineares Modell des Turbinen-Generator-Welle-Systems
                             Analyse des nichtlinearen Modells
         Fazit
  •  Einfluß stochastischer Größen auf die Systemdynamik
         Grundlegende Begriffe stochastischer Prozesse
         Stochastische Prozesse
                 Stationarität und Ergodizität
                 Markov-Prozesse
                 Diffusionsprozesse und Wiener-Prozesse
         Stochastische Differentialgleichungen
         Stabilität linearer stochastischer Systeme
         Stochastisches Mehrmaschinenmodell
                 Systemmodell
                 Fundamentales Problem: Der Effekt kleiner Störungen
                 Musterpfad-Stabilität
         Fazit
  •  Chaotische Dynamik und Lyapunov-Exponenten
         Der Weg ins Chaos
         Quantitative Charakterisierung des Chaos
         Lyapunov-Exponenten
                 Vorbetrachtungen
                 Floquét-Theorie
                 Lyapunov-Exponenten eindimensionaler Systeme
                 Lyapunov-Exponenten mehrdimensionaler Systeme
                 Numerische Bestimmung der Lyapunov-Exponenten
                             Ermittlung des größten Lyapunov-Exponenten
                             Bestimmung aller Lyapunov-Exponenten
         Fazit
  •  Entropie
         Entropiebegriff der Thermodynamik
         Entropie im Sinn der Shannonschen Informationstheorie
         Metrische Entropie nach Kolmogorov
         Beziehung zwischen metrischer Entropie und Lyapunov-Exponenten
         Die verallgemeinerte Entropie
         Fazit
  •  Nichtlinearer Transformator
         Das Steinmetz-Transformator-Modell
         Hysteresemodellierung
                 Die Hysterese als Duffing-Oszillator
                 Hintergründe dieser Beschreibungsweise
                 Dynamik der Duffing-Gleichung
                Lösungsmöglichkeiten der Duffing-Differentialgleichung
         Nichtlineares Transformatormodell
                 Darstellung als äquivalentes Netzwerk
     Fazit
  •  Zusammenfassung
  •  Literatur
  •  Nomenklatur
  •  Anhänge:
  •  Allgemeine Bemerkungen zur Modellbildung und Simulation
         Systeme
         Modelle
                 Klassifikation nach Art der Untersuchungsmethoden
                 Klassifikation nach Abbildungsmedium
                 Klassifikation nach Art der Zustandsübergänge
                 Klassifikation nach Verwendungszweck
         Simulation
         Modellbildung und Modellbildungszyklus
                 Problemdefinition
                 Modellentwurf
                 Datenerhebung
                 Modellimplementation
                 Modellvalidierung
                 Simulation
                 Ergebnisanalyse
                 Dokumentation
                 Einsatz in der Praxis
         Möglichkeiten und Grenzen der Modellbildung und Simulation
                 Das Potential der Modellbildung und Simulation
                 Probleme der Modellbildung und Simulation
         Zur Notwendig einer Gültigkeitsprüfung
         Grundsätze für ein Validierungskonzept
          Ein mehrstufiger Ansatz zur Modellvalidierung
                  Validierung des konzeptuellen Modells
                 Modellverifikation
                 Operationale Modellvalidierung
         Modelltransparenz durch Dokumentation
         Klassifikation von Simulationssoftware
                 Simulationssoftware auf Sprachebene
                 Simulationssoftware auf Modellebene
         Simulationssysteme
                 Definition und generelle Zielsetzung
                 Anforderungen an Simulationssysteme
                 Aufbau von Simulationssystemen
         Fazit
  •  Algebraische Modellierung des Netzes: Lastflußproblematik
         Modellierung des Netzes
                 Übertragungsleitungen
                 Transformatoren mit rationalem Übersetzungsverhältnis
                 Phasenschiebertransformatoren
         Knotenadmittanzmethode
                 Konditionierung der Knotenadmittanzmatrix
                 Analytische Formulierung des Problems
                 Lastflußgleichungen
         Fazit
  •  Fixpunktproblematik
         Numerische Analyse von Fixpunkten
                 Das allgemeine Iterationsverfahren (Picárd-Iteration)
                 Konvergenzeigenschaften und Fehlerabschätzung
                 Erweiterung auf Gleichungssysteme
                 Das Newton-Verfahren: Einfache Wurzeln
                 Das Newton-Verfahren: Mehrfache Wurzeln
                 Das vereinfachte Newton-Verfahren
                 Numerische Rechnung und Fehler
                 Einige Bemerkungen zur Wahl des Verfahrens
         Fazit
  •  Numerische Analyse transienter Vorgänge
         Analyse transienter Vorgänge: Runge-Kutta Verfahren
                 Numerische Verfahren zur Systemanalyse
                 Einschritt-Verfahren
                 Fehlerabschätzung für Runge-Kutta Verfahren
                 Bestimmung des Lösungsfehlers bei Gleichungen mit stabilen Lösungen
                 Standardprogramme
         Analyse transienter Vorgänge: Mehrschritt-Verfahren
                 Allgemeine Definitionen
                 Bestimmte Mehrschritt-Formeln
                 Rechenschema für Mehrschritt-Verfahren
                 Fehlerbestimmung
                 Die Butcher-Formeln
         Steife Gleichungssysteme
         Fazit
  • Allgemein   
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