Eine Beurteilung der Dynamik und Stabilität nichtlinearer Elektroenergiesysteme erscheint aufgrund der Komplexität dieser Systeme nahezu unmöglich zu sein. Solange sich diese Systeme wie lineare Systeme verhalten, können bekannte Methoden mit bekannten Lösungstheorien verwendet werden, um Aussagen zu treffen. Ganz anders gestaltet sich das Problem, wenn Nichtlinearitäten einen dominierenden Einfluss erlangen.

Man ist dann gut beraten, auch in anderen Disziplinen der Wissenschaft Analogien in einer multidisziplinären Art und Weise zu suchen, und die dort gewonnen Erkenntnisse zum eigentlichen Lösungsprozeß mit zu Rate zu ziehen. Die Modellierung der Prozesse in den unterschiedlichen Disziplinen führt ohnehin auf ähnliche mathematische Probleme. Haken hat das vor einiger Zeit erkannt und diesen "multidisziplinären Arbeitsrahmen" Synergetik genannt. Ein wesentlicher Bestandteil dieser Theorie und Betrachtungsweise beurteilt das prinzipielle dynamische Verhalten von Systemen und wie die Eigenschaften dieser Systeme gestört werden können. Interessant ist dabei zu beobachten, wie einmal erkannte und damit auch modellierte Eigenschaften verändert werden, so sogar die Strukturen der Modell ganz anders aussehen können.

Insbesondere ist bei Elektroenergiesystemen die Repräsentanz der Modelle und das Wissen um die Dynamik einzelner Systembausteine vollkommen unterschiedlich. Während man z.B. die einzelnen Generatoren genau kennt, ist das Wissen um Lasten, oder Lastverhältnissen von einer anderen Qualität. Während zur Beschreibung von Generatoren determiniertes Wissen um die Dynamik oder das Verhalten dieses Gerätes existiert, ist bei Lasten nur eine Beschreibung mit makroskopischen zudem stochastischen Parametern nurmehr möglich.

Um das makroskopische Verhalten der Systeme zu beschreiben ist der Begriff der Ordnungsparameter wesentlich. Das Systemverhalten wird dabei nur durch eine geringe Anzahl von Parametern dominiert. Eine ähnliche Voraussetzung wurde auch bei der Anwendung der Katastrophentheorie gemacht. Allerdings sind die Voraussetzungen dieser Theorie sehr eng, und sie läßt die wichtige Rolle der Schwankungen außer acht. In der Synergetik ist die Frage nach Längen- oder Zeitskalen wichtig. Diese Begriffe wurden schon von jeher zur Beschreibung von Elektroenergiesystemen mit den Begriffen "stationär", "transient" und "subtransient" verwendet. Die Ordnungsparameter sind dem gewöhnlich besser bekannten Begriff aus der Theorie dynamischer Systeme, den Attraktoren, ähnlich, sie sind zusammenhängende Begriffe. Wenn allgemein komplexe Systeme betrachtet werden, dann werden diese durch sehr viele verschiedene Größen, Variablen oder Parameter beschrieben. In der Synergetik zeigt man, daß das Verhalten eines solchen komplexen Systems dann doch wieder auf das Verhalten von wenigen Größen zurückgeführt werden kann, die als Ordnungsparameter bezeichnet werden. Ein System lässt sich also durch wenige Variablen oder wenige Freiheitsgrade beschreiben. Das ist die eine Beschreibungsweise. Andererseits muss auch gesagt werden, dass ein ungeordnetes System durch einen abstrakten Raum mit hohen Dimensionen beschrieben werden muss, um all die einzelnen Freiheitsgrade wiederzugeben. Wenn aber ein System in einen geordneten Zustand übergeht, dann wird die hohe Dimension auf eine sehr kleine Dimension von Freiheitsgraden reduziert. Das lässt sich dann durch die niederdimensionalen Attraktoren beschreiben. Es sind also zwei miteinander eng verbundene Beschreibungen, die aber nicht identisch sind. Diese Eigenschaft ermöglichte in der Vergangenheit die bekannten Analysen von Elektroenergiesystemen und den Einsatz von Automatisierungssystemen zum Erhalt dieser Eigenschaften.

Wie bereits bemerkt, ist in der Synergetik die Frage nach Längen- oder Zeitskalen wichtig. Die Ordnungsparameter ändern sich auf viel langsameren Zeitskalen als die Teilsysteme, deren Verhalten von Ordnungsparametern bestimmt werden. Realistischerweise muss man von einer komplizierten Hierarchie von ineinander verschachtelten Systemen ausgehen. Die eine Ordnung ist dabei durch die Zeitkonstanten gegeben, die andere durch die Wechselwirkungsenergien oder durch Funktionen. So existieren verschiedene Kriterien, um Systeme von ihrer Umgebung abzugrenzen. Aber man muss sich darüber im klaren sein, dass die Umgebung sehr stark in das einzelne Teil hineinwirkt und dass umgekehrt das einzelne Teil auch auf die Umgebung zurückwirkt. Die Synergetik zeigt ganz deutlich, wie es bei komplexen Systemen immer wieder zur Emergenz von neuen Eigenschaften kommt, die man auf andere Weise gar nicht erfassen kann.

Es besteht also ein Bedarf an Wissen, herauszufinden, welches die systemdominierenden Zustandsvariablen sind, und wie die prinzipielle Systemdynamik aussieht. Aufgrund der modellierten physikalischen Phänomene wie magnetische Sättigungscharakteristiken oder Hystereseeffekte sind spezielle strukturelle Eigenschaften repräsentiert. Damit existiert aber allgemein eine möglicherweise sehr komplizierte Dynamik. Insbesondere sind sogar chaotische Zustände vorstellbar.

Der Übergang von regulären Zuständen hin zu chaotischen Zuständen ist aber dadurch gekennzeichnet, daß charakteristische Größen zur Beschreibung stochastischer Einflüsse wie Autokorrelationsfunktionen, Leistungsdichtespektren usw. keinerlei Bedeutung mehr haben. Der Prozess verliert seine eigene Selbstähnlichkeit. Damit ist aber auch die Grenze der "Vererbung" dynamischen Verhaltens ganz deutlich geworden. Die Eigenschaft, dass bestimmte, in der Regel nur sehr wenige Zustandsvariablen das Prozessgeschehen dominieren ist dann verloren gegangen. Es ist dann auch sehr schwer zu beurteilen, ob z.B. vorliegende Messwerte tatsächlich chaotische Bewegungen charakterisieren oder vielleicht "nur" komplizierte transiente Vorgänge sind, oder ob der Prozess stochastischer Natur ist. Klassische Analyseverfahren versagen dann. Dabei spielt jetzt das Wissen um die Strukturdynamik eine wesentliche Rolle, um mögliche Dynamiken im Vorfeld zu beurteilen und aus dem Wissen um physikalische Effekte aus den strukturellen Eigenschaften den möglichen Übergang ins Chaos für den Prozeß vorzuzeichnen. Genau hier setzt die Beschreibung der Elektroenergiesysteme mit charakteristischen nichtlinearen Oszillatoren ein, um die typischen Nichtlinearitäten und ihre Auswirkungen am Modell zu studieren.

Inhalte und Struktur der Habilitationsschrift

Inhaltsverzeichnis  Begriffe  Einleitung      Methoden und Vorgehensweisen zur numerischen Analyse dynamischer Systeme              Phasen-Portraits              Bifurkationen              Zeitreihenanalyse        Fazit  Modellierung elektrischer Netze      Topologie des Gesamtsystems      Interne Modellstruktur      Beschreibung mittels schwingfähiger Systeme      Approximation periodischer Lösungen mittels algebraischer Gleichungssysteme      Algebraische Darstellung des Netzes: Lastflußproblematik      Fazit  Lösbarkeit und Eigenschaften algebraischer Netzbeschreibungen      Anzahl der Lösungen von Lastflußgleichungen              Ein "defizientes" System und das assoziierte homogene System              Nichtsinguläre Nullstellen in Projektionsräumen              Anwendung auf Energieversorgungssysteme                      Allgemeine Lastflußgleichungen                      Lastflußgleichungen der PQ-Knoten                      Lastflußgleichungen der PV-Knoten              Spezielle Strukturen von Energieversorgungssystemen      Fraktale Natur des Newton-Raphson-Verfahrens      Fraktale in Elektroenergiesystemen      Fazit  Homotopie- und Fortsetzungsmethoden      Einführung      Bestandteile der sogenannten Prädiktor-Korrektor-Methode      Homotopie      Prädiktor              Methode der gewöhnlichen Differentialgleichung: Tangentialprädiktor              Polynomiale Extrapolation: Sekanter Prädiktor      Parametrisierungen              Parametrisierung durch eine zusätzliche Gleichung              Bogenlänge und Pseudo-Bogenlänge              Lokale Parametrisierung      Korrektor      Schrittweitenregelungen      Bestimmung spezieller Punkte im Diagramm      Fazit  Zur Berechnung aller Lösungen von Lastflußgleichungen      Parametrisierung der Lastflußgleichungen      Topologische Strukturen der Lösungsmannigfaltigkeiten      Der Berechnungs-Algorithmus      Simulationsbeispiele              Modell 1              Modell 2              Modell 3              5-Knoten System      Fazit  Modellierung elektrischer Netze (klassisch)      Mehrmaschinensystem              Transformation des Maschinensystems auf das gemeinsame              synchrone Bezugskoordinatensystem              Klassisches Modell des Mehrmaschinensystems                          Darstellung des Modells im Zustandsraum                          Vernachlässigung der Übertragungskonduktanz                          Zustandsraummodell mit Übertragungskonduktanz      Schätzung der transienten Stabilität durch Lyapunov-Funktionen              Formulierung des Zustandsraummodells mit Winkelschwerpunkt              Einmaschinensystem              Mehrmaschinensystem      Fazit  Strukturierte Modellierung und Analyse gesättigter Synchronmaschinen      Maschinenmodell mit Sättigung und Quermagnetisierung              Basismodell              Modellierung der Sättigung              Ruhelagen des Modells ohne Sättigung des magnetischen Kreises              Vernachlässigung des Statorwiderstandes              Turbogenerator              Ruhelagen des erweiterten Modells mit Sättigung              Fazit      Modell eines Synchrongenerators mit unsymmetrischem Fehler      Analyse des Synchrongeneratormodells              Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität der Ruhelagen              Ruhelagen des fehlerfreien Synchrongenerators ohne Sättigungseffekte              Vernachlässigung des ohmschen Statorwiderstandes              Turbogenerator              Ruhelagen des erweiterten Modells mit Sättigung              Der Synchrongenerator mit Ständererdschluß (Unsymmetrie)                          Dissipatives System                          Die Bedeutung des Fehlerwiderstandes                          Hopf-Bifurkation                          Berechnung der Ruhelagen      Modellvalidierung, Simulationen und Ergebnisanalyse              Vorgehensweise                          Überlegungen zur Modellvalidierung                          Überlegungen zu Simulationsexperimenten                          Überlegungen zur Ergebnisanalyse                          Synchrongeneratormodell mit Ständererdschluß              Simulationen und Analysen              Analyse im Frequenzbereich              Beurteilung der Ergebnisse      Fazit  Lösbarkeit nichtlinearer differential-algebraischer Modelle elektrischer      Energieversorgungssysteme      Indexproblem des differential-algebraischen Mehrmaschinensystems              Mathematische Vorbetrachtungen              Theoretische Grundlagen der Algebrodifferentialgleichungen      Index eines differential-algebraischen Systems              Semi-explizite Formen der Systemklassen vom Index 1, 2, und 3                          Systeme vom Index 1                          Systeme vom Index 2                          Systeme vom Index 3              Weitere Index-Konzepte                          Poincaré-Index eines Fixpunktes oder einer geschlossenen Kurve                          Reihenentwicklungen um schwach singuläre Stellen      Das differential-algebraische Mehrmaschinensystem              Das Einmaschinenmodell              Die algebraischen Nebenbedingungen              Das differential-algebraische Modell eines Zweimaschinensystems      Was ist zu tun?  Ersatzbeschreibung durch nichtlineare Differentialgleichungen      Vererbung dynamischer Eigenschaften      Bemerkungen zur Katastrophentheorie              Einführende Bemerkungen              Katastrophentheorie              Strukturelle Stabilität              Das Spaltungslemma              Kodimension              Die sieben Elementarkatastrophen              Geometrie der interessierenden Elementarkatastrophen                          Die Falte                          Die Kuspe (Riemann-Hugoniot-Katastrophe)              Nichtlineare Oszillatoren              Die beschränkte Anwendbarkeit der bestehenden Resonanzbegriffe                          Resonanz und invariante Tori                          Lineare Resonanz                          Nichtlineare Resonanzen              Torsionszahlen strikt dissipativer, symmetrischer Oszillatoren                          Duffing-Gleichungen      Synchronmaschine als nichtlinearer Oszillator              Modellierungsbeispiel einer Synchronmaschine über eine Leitung an das Netz              Mehrmaschinenmodell              Spezialfall: Zweimaschinenmodell      Chaotische Dynamik am Beispiel eines Zweimaschinenmodells      Diffuse Eigenschaften elektrischer Energieversorgungssysteme      Fazit  Zur Dynamik nichtlinearer angetriebener Oszillatoren      Einfache periodische Schwingungen              Harmonische Balance      Stabilität - Linearisierte Gleichung              Floquétexponenten, Floquétmultiplikatoren              Bifurkationen mit  m=-+1      Deterministisches Chaos              Intermittenz              Typ 1 Intermittenz              Typ 3 Intermittenz              Periodenverdoppelnde Kaskade              Periodenverdopplung in höherdimensionalen Systemen              Homokline Bifurkationen      Globale Parameterabhängigkeit stationärer Lösungen              Periodenverdoppelnde Bifurkationen in der Duffing-Gleichung      Fazit  Nachweis periodischer Lösungen der Duffing-Gleichung      Einführung              Formulierung des allgemeinen Existenzsatzes              Anwendung des Satzes auf die Duffing-Gleichung      Fazit  Repräsentanz der Maschinenmodelle durch Duffing-Gleichungen      Synchronmaschine als Duffing-Oszillator              Synchronmaschine (Leistungsgleichung)              Synchronmaschine am starren Netz      Theoretische Grundlagen zur Duffing-Gleichung              Schreibweise für Mehrmaschinenmodelle              Fixpunkte              Eigenwerte des linearisierten Systems              Kuspe und Transformation              Holmes-Melnikov-Grenze      Synchronmaschine mit Sättigung des magnetischen Kreises              Herleitung des Modells              Zuweisung der sättigungsabhängigen Parameter      Zusammenschaltung von Synchronmaschinen      Synchronmaschine am starren Netz              Trajektorienverläufe              Kuspen einer Synchronmaschine              Numerische Berechnung der Lyapunov-Exponenten              Sättigungseigenschaften      Zwei gekoppelte Synchronmaschinen              Resonanzfrequenz und Kuspe              Sättigung      Fazit  Modellbeschreibung durch Hamiltonsche Systeme      Grundlagen der Hamiltonschen Systeme              Hamilton-Funktion und Hamiltonsches Differentialgleichungssystem              Hamiltonsches System in Wirkungs- und Winkelvariablen      Gestörte Hamiltonsche Systeme      Melnikov-Methode              Einleitende Bemerkungen              Anwendung auf die Duffing-Gleichung      Fazit  Hamilton-Beschreibung zur Analyse des Turbinen-Generator-Welle-Systems      Einführung      Das Modell des Turbinen-Generator-Welle-Systems      Hamilton-Funktion des nichterregten Turbinen-Generator-Welle-Systems      Lineare Analyse              Stabilitätsuntersuchungen                          Eigenwertanalyse                          Die direkte Methode mit Hilfe der Hamilton-Funktion              Berechnung des Amplituden und Phasenganges              Resonanzen in schwingungsfähigen Systemen      Nichtlineare Analyse             Konservative Systeme             Mannigfaltigkeiten und Trajektorien Hamiltonscher Systeme                          Grundzüge der Störungstheorie - Das KAM-Theorem                          Irreguläres und chaotisches Verhalten                          Die Melnikov-Methode              Dissipative Systeme                          Attraktoren              Charakterisierung von Attraktoren                          Simulation der Zeitverläufe und Phasenportraits                          Poincaré-Abbildungen                          Autokorrelation und Leistungsspektrum              Nichtlineares Modell des Turbinen-Generator-Welle-Systems                          Analyse des nichtlinearen Modells      Fazit  Einfluß stochastischer Größen auf die Systemdynamik      Grundlegende Begriffe stochastischer Prozesse      Stochastische Prozesse              Stationarität und Ergodizität              Markov-Prozesse              Diffusionsprozesse und Wiener-Prozesse      Stochastische Differentialgleichungen      Stabilität linearer stochastischer Systeme      Stochastisches Mehrmaschinenmodell              Systemmodell              Fundamentales Problem: Der Effekt kleiner Störungen              Musterpfad-Stabilität      Fazit  Chaotische Dynamik und Lyapunov-Exponenten      Der Weg ins Chaos      Quantitative Charakterisierung des Chaos      Lyapunov-Exponenten              Vorbetrachtungen              Floquét-Theorie              Lyapunov-Exponenten eindimensionaler Systeme              Lyapunov-Exponenten mehrdimensionaler Systeme              Numerische Bestimmung der Lyapunov-Exponenten                          Ermittlung des größten Lyapunov-Exponenten                          Bestimmung aller Lyapunov-Exponenten      Fazit  Entropie      Entropiebegriff der Thermodynamik      Entropie im Sinn der Shannonschen Informationstheorie      Metrische Entropie nach Kolmogorov      Beziehung zwischen metrischer Entropie und Lyapunov-Exponenten      Die verallgemeinerte Entropie      Fazit  Nichtlinearer Transformator      Das Steinmetz-Transformator-Modell      Hysteresemodellierung              Die Hysterese als Duffing-Oszillator              Hintergründe dieser Beschreibungsweise              Dynamik der Duffing-Gleichung             Lösungsmöglichkeiten der Duffing-Differentialgleichung      Nichtlineares Transformatormodell              Darstellung als äquivalentes Netzwerk  Fazit  Zusammenfassung  Literatur  Nomenklatur  Anhänge:  Allgemeine Bemerkungen zur Modellbildung und Simulation      Systeme      Modelle              Klassifikation nach Art der Untersuchungsmethoden              Klassifikation nach Abbildungsmedium              Klassifikation nach Art der Zustandsübergänge              Klassifikation nach Verwendungszweck      Simulation      Modellbildung und Modellbildungszyklus              Problemdefinition              Modellentwurf              Datenerhebung              Modellimplementation              Modellvalidierung              Simulation              Ergebnisanalyse              Dokumentation              Einsatz in der Praxis      Möglichkeiten und Grenzen der Modellbildung und Simulation              Das Potential der Modellbildung und Simulation              Probleme der Modellbildung und Simulation      Zur Notwendig einer Gültigkeitsprüfung      Grundsätze für ein Validierungskonzept       Ein mehrstufiger Ansatz zur Modellvalidierung               Validierung des konzeptuellen Modells              Modellverifikation              Operationale Modellvalidierung      Modelltransparenz durch Dokumentation      Klassifikation von Simulationssoftware              Simulationssoftware auf Sprachebene              Simulationssoftware auf Modellebene      Simulationssysteme              Definition und generelle Zielsetzung              Anforderungen an Simulationssysteme              Aufbau von Simulationssystemen      Fazit  Algebraische Modellierung des Netzes: Lastflußproblematik      Modellierung des Netzes              Übertragungsleitungen              Transformatoren mit rationalem Übersetzungsverhältnis              Phasenschiebertransformatoren      Knotenadmittanzmethode              Konditionierung der Knotenadmittanzmatrix              Analytische Formulierung des Problems              Lastflußgleichungen      Fazit  Fixpunktproblematik      Numerische Analyse von Fixpunkten              Das allgemeine Iterationsverfahren (Picárd-Iteration)              Konvergenzeigenschaften und Fehlerabschätzung              Erweiterung auf Gleichungssysteme              Das Newton-Verfahren: Einfache Wurzeln              Das Newton-Verfahren: Mehrfache Wurzeln              Das vereinfachte Newton-Verfahren              Numerische Rechnung und Fehler              Einige Bemerkungen zur Wahl des Verfahrens      Fazit  Numerische Analyse transienter Vorgänge      Analyse transienter Vorgänge: Runge-Kutta Verfahren              Numerische Verfahren zur Systemanalyse              Einschritt-Verfahren              Fehlerabschätzung für Runge-Kutta Verfahren              Bestimmung des Lösungsfehlers bei Gleichungen mit stabilen Lösungen              Standardprogramme      Analyse transienter Vorgänge: Mehrschritt-Verfahren              Allgemeine Definitionen              Bestimmte Mehrschritt-Formeln              Rechenschema für Mehrschritt-Verfahren              Fehlerbestimmung              Die Butcher-Formeln      Steife Gleichungssysteme      Fazit